Каков физический смысл модуля упругости модуля юнга

Модуль Юнга (упругости)

Все твердые тела, как кристаллические, так и аморфные, имеют свойство изменять свою форму под воздействие приложенной к ним силы. Другими словами, они подвергаются деформации. Если тело возвращается к исходным размерам и форме после того, как внешнее усилие прекращает свое воздействие, то его называют упругим, а его деформацию считают упругой. Для любого тела существует предел приложенного усилия, после которого деформация перестает быть упругой, тело не возвращается в исходную форму и к исходным размерам, а остается в деформированном состоянии или разрушается. Теория упругих деформаций тел была создана в конце 17 века британским ученым Р. Гуком и развита в трудах его соотечественника Томаса Юнга. В их честь Гука и Юнга были названы соответственно закон и коэффициент, определяющий степень упругости тел. Он активно применяется в инженерном деле в ходе расчетов прочности конструкций и изделий.

Основные сведения

Модуль Юнга, (называемый также модулем продольной упругости и модулем упругости первого рода) это важная механическая характеристика вещества. Он является мерой сопротивляемости продольным деформациям и определяет степень жесткости. Он обозначается как E; измеряется н/м 2 или в Па.

Это важный коэффициент применяют при расчетах жесткости заготовок, узлов и конструкций, в определении их устойчивости к продольным деформациям. Вещества, применяемые для изготовления промышленных и строительных конструкций, имеют, как правило, весьма большие значения E. И поэтому на практике значения Е для них приводят в гигаПаскалях (10 12 Па)

Величину E для стержней поддается расчету, у более сложных конструкций она измеряется в ходе опытов.

Приближенные величины E возможно узнать из графика, построенного в ходе тестов на растяжение.

График теста на растяжение

E- это частное от деления нормальных напряжений σ на относительное удлинение ε.

Закон Гука также можно сформулировать и с использованием модуля Юнга.

Физический смысл модуля Юнга

Во время принудительного изменения формы предметов внутри них порождаются силы, сопротивляющиеся такому изменению, и стремящиеся к восстановлению исходной формы и размеров упругих тел.

Если же тело не оказывает сопротивления изменению формы и по окончании воздействия остается в деформированном виде, то такое тело называют абсолютно неупругим, или пластичным. Характерным примером пластичного тела является брусок пластилина.

Р. Гук исследовал удлинение стрежней из различных веществ, под воздействием подвешенных к свободному концу гирь. Количественным выражением степени изменения формы считают относительное удлинение, равное отношению абсолютного удлинения и исходной длины.

В результате серии опытов было установлено, что абсолютное удлинение пропорционально с коэффициентом упругости исходной длине стрежня и деформирующей силе F и обратно пропорционально площади сечения этого стержня S:

Величину, обратную α, и называют модулем Юнга:

ε = (Δl) / l = α * (F/S)

Отношение растягивающей силы F к S называют упругим напряжением σ:

Закон Гука, записанный с использованием модуля Юнга, выглядит так:

Теперь можно сформулировать физический смысл модуля Юнга: он соответствует напряжению, вызываемому растягиванием стержнеобразного образца вдвое, при условии сохранения целостности.

В реальности подавляющее большинство образцов разрушаются до того, как растянутся вдвое от первоначальной длины. Значение E вычисляют с помощью косвенного метода на малых деформациях.

Коэффициент жёсткости при упругой деформации стержня вдоль его оси k = (ES) / l

Модуль Юнга определяет величину потенциальной энергии тел или сред, подвергшихся упругой деформации.

Значения модуля юнга для некоторых материалов

В таблице показаны значения E ряда распространенных веществ.

Модуль продольной упругости стали вдвое больше модуля Юнга меди или чугуна. Модуль Юнга широко применяется в формулах прочностных расчетов элементов конструкций и изделий в целом.

Предел прочности материала

Это предел возникающего напряжения, после которого образец начинает разрушаться.

Статический предел прочности измеряется при продолжительном приложении деформирующего усилия, динамический — при кратковременном, ударном характере такого усилия. Для большинства веществ динамический предел больше, чем статический.

Инструмент для определения предела прочности

Кроме того, существуют пределы прочности на сжатие материала и на растяжение. Они определяются на испытательных стенда опытным путем, при растягивании или сжатии образцов мощными гидравлическим машинами, снабженными точными динамометрами и измерителями давления. В случае невозможности достижения требуемого давления гидравлическим способом иногда применяют направленный взрыв в герметичной капсуле.

Допускаемое механическое напряжение в некоторых материалах при растяжении

Из жизненного опыта известно, что разные материалы по-разному сопротивляются изменению формы. Прочностные характеристики кристаллических и других твердых тел определяются силами межатомного взаимодействия. По мере роста межатомных расстояний возрастают и силы, притягивающие атомы друг к другу. Эти силы достигают максимума при определенной величине напряжения, равной приблизительно одной десятой от модуля Юнга.

Испытание на растяжение

Эту величину называют теоретической прочностью, при ее превышении начинается разрушение материала. В реальности разрушение начинается при меньших значениях, поскольку строение реальных образцов неоднородно. Это вызывает неравномерное распределение напряжений, и разрушение начинается с тех участков, где напряжения максимальны.

Эти цифры учитываются конструкторами при выборе материала деталей будущего изделия. С их использованием также проводятся прочностные расчеты. Так, например, тросы, используемые для подъемно- транспортных работ, должны иметь десятикратный запас по прочности. Периодически их проверяют, подвешивая груз в десять раз больше, чем паспортная грузоподъемность троса.

Запасы прочности, закладываемые в ответственные конструкции, также многократны.

Коэффициент запаса прочности

Для количественного выражения запаса прочности при конструировании применяют коэффициент запаса прочности. Он характеризует способность изделия к перегрузкам выше номинальных. Для бытовых изделий он невелик, но для ответственных узлов и деталей, могущих при разрушении представлять опасность для жизни и здоровья человека, его делают многократным.

Точный расчет прочностных характеристик позволяет создать достаточный для безопасности запас прочности и одновременно не перетяжелить конструкцию, ухудшая ее эксплуатационные характеристики. Для таких расчетов используются сложные математические методы и совершенное программное обеспечение. Наиболее важные конструкции обсчитывают на суперкомпьютерах.

Связь с другими модулями упругости

Модуль Юнга связан с модулем сдвига, определяющим способность образца к сопротивлению против деформации сдвига, следующим соотношением:

E связан также и с модулем объёмной упругости, определяющим способность образца к сопротивлению против одновременного сжатия со всех сторон.

Модуль Юнга и его основной физический смысл

Модулем продольной упругости конструкционного материала, или модулем Юнга, называют физическую величину, которая характеризует свойство материалов, обеспечивающее их сопротивление деформациям, действующим в продольном направлении.

Параметр характеризует степень жесткости конкретного материала.

Название модуля соответствует фамилии Томаса Юнга — известного английского физика и ученого, который занимался исследованием процессов сжатия и растяжения для твердых материалов. Обозначается данная физическая величина латинской буквой E. Измеряется модуль Юнга в Паскалях.

Параметр модуль Юнга, или модуль продольной упругости, используется при различных расчетах при испытаниях материалов на степень деформации при растяжении-сжатии, а также при изгибе.

Надо сказать, что большинству используемых конструкционных материалов свойственен показатель модуля Юнга достаточно больших значений, которые, как правило, имеют порядок 10 9 Па. Поэтому для удобства расчетов и записи используют кратную приставку «гига» (ГПа).

Ниже приведены показатели модуля Юнга для некоторых конструкционных материалов, которые достаточно часто используются для различных практических целей. Именно от их свойств прочности зависит долговечность строительных сооружений и других объектов.

Согласно приведенной таблице, максимальный показатель модуля принадлежит стали, а минимальный — дереву.

Показатель

E, [ГПа]

Название материала

Показатель

E, [ГПа]

В этом случае физический смысл модуля Юнга заключается в нахождении математического отношения нормальных напряжений к соответствующим показателям деформации на определенном участке диаграммы до конкретно заданного предела пропорциональности σ_пц.

В виде математического выражения модуль Юнга выглядит следующим образом: E=σ/ε=tgα

Следует также сказать о том, что модуль Юнга является еще и коэффициентом пропорциональности в математическом описании закона Гука, который выглядит следующим образом: σ=Eε

Поэтому непосредственная связь модуля продольной упругости с измеряемыми характеристиками поперечных сечений материалов, участвующих в испытаниях на жесткость, выражается с помощью таких показателей, как ЕА и Е1.
EA – это показатель жесткости при растяжении-сжатии материала в его поперечном сечении, где А – значение площади сечения стержня.

Е1 – это показатель жесткость при изгибе материала в его поперечном сечении, где 1 – значение осевого момента инерции, который возникает в сечении ипытываемого материала.

Таким образом, модуль Юнга — это универсальный показатель, который позволяет с нескольких сторон характеризовать прочностные свойства материала.

Определение модуля юнга

Цель работы: определить модуль Юнга стали, оценить погрешность измерений с помощью метода наименьших квадратов.

Приборы и материалы: проволока, закрепленная на кронштейне; грузы для растяжения проволоки; индикатор.

Описание установки

Стальная проволока 1 растягивается под действием переменных грузов 4 (рис. 1). Длина проволоки измеряется линейкой 2, ее диаметр – микрометром, абсолютное удлинение – индикатором 3.

Рис. 1 Установка для измерения модуля
Юнга стальной проволоки

Краткая теория

Все твердые тела под действием сил деформируются, т.е. изменяют объем и форму. Различаются деформации растяжения (сжатия), сдвига, изгиба, кручения (последние две сводятся к первым).

Если деформации исчезают после прекращения действия приложенных сил, то они называются упругими. Деформации, частично сохраняющиеся после снятия нагрузки, называются пластическими. Разделение деформаций на упругие и пластические условно. Строго говоря, после любой нагрузки, сохраняются остаточные деформации. Но если они пренебрежимо малы, то деформации считаются упругими.

Если вызывающая деформацию сила не слишком велика, то выполняется закон Гука: относительная деформация в пределах упругости пропорционально вызывающему ее усилию. Каждый вид деформации характеризуется своим коэффициентом, или модулем (величиной, обратной коэффициенту). Так как видов деформации может быть много, то столько же будет коэффициентов и модулей. Однако в теории упругости показано, что различные коэффициенты (модули) связаны между собой определенными соотношениями. При этом число соотношений на два меньше числа коэффициентов. Это значит, что любое тело всегда имеет два независимых коэффициента, характеризующих его упругие свойства. Физически это объясняется следующим образом. Всякая деформация представляет собой смещение молекул тела, а всякое движение может быть сведено к поступательному и вращательному движению. Так как два эти движения независимы, то и деформации, связанные с ними, например, удлинение и кручение, будут независимы. Все остальные деформации можно будет свести к этим двум.

Для упругих тел между действующими силами и вызванными ими деформациями существует однозначная зависимость (при пластических деформациях такой однозначности нет).

Рассмотрим деформацию растяжения на примере одного изотропного образца, например, проволоки. Пусть верхний конец проволоки закреплен, а к нижнему подвешиваются различные грузы . В качестве меры деформации растяжения используют абсолютное удлинение или относительное удлинение , где – начальная длина проволоки, а – ее длина при нагрузке. Относительное удлинение рассчитывается на единицу начальной длины и поэтому, в отличие от абсолютного удлинения , от длины проволоки не зависит.

Выделим мысленно произвольный элемент проволоки (рис. 2). Из условия равновесия следует, что со стороны соседних частей проволоки на концы рассматриваемого участка действуют равные по величине, но противоположно направленные силы . Это силы упругости, возникшие в проволоке в результате ее деформации. Если деформация однородная, то каждая из сил равномерно распределена по поверхности поперечного сечения проволоки . Величина

определяет упругую силу, действующую на единицу площадки, перпендикулярной направлению силы. Она называется нормальным напряжением. При однородной деформации нормальное напряжение одинаково в любом поперечном сечении образца. При неоднородной деформации для определения нормального напряжения

площадку , перпендикулярную к силе , следует выбирать элементарно малой, в пределах которой деформацию можно приближенно считать однородной. В разных точках неоднородно деформированного образца напряжение разное.

Рис. 2. Элемент проволоки с действующими на него силами

В пределах упругих деформаций нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению (закон Гука для деформации растяжения):

где — коэффициент пропорциональности, называемый модулем продольной упругости (модулем Юнга) материала образца. Модуль продольной упругости численно равен нормальному напряжению, которое возникло бы в теле при его относительном удлинении, равном единице, если бы деформация оставалась упругой. При этом длина тела увеличилась бы в два раза.

Зависимость нормального напряжения от относительного удлинения изображена на рисунке 3. При малых деформациях (от 0 до ) выполняется закон Гука; это практически линейный участок 0a . Максимальное напряжение , соответствующее этому участку, называется пределом пропорциональности. Предел упругости — это максимальное напряжение, при котором еще сохраняются упругие свойства тела. На участке ab деформация нелинейная, но еще упругая (обычно этот участок очень малый: больше на доли процента.) При напряжениях, больших , деформация становится пластической: в теле после снятия нагрузки наблюдается остаточная деформация . При напряжениях удлинение нарастает практически без увеличения нагрузки. Это область текучести материала (участок cd ). На участке de происходит некоторое упрочение образца. После достижения максимального значения – предела прочности – напряжение резко уменьшается, и образец разрушается (точка f на графике).

Рис. 3. Зависимость нормального напряжения
от относительного удлинения

В пределах упругости удлинение проволоки прямо пропорционально растягивающей силе, первоначальной длине и обратно пропорционально площади ее поперечного сечения :

где — удлинение, – постоянная величина (коэффициент упругости), зависящая от материала проволоки. Обычно в формулу вводят не , а величину, обратную ей: . Величина носит название модуля упругости (модуля Юнга). Подставляя в уравнение (1) вместо величину , получим

и величина носит название усилия и характеризует величину упругих сил, развивающихся в деформируемом материале (напряжение).

Итак, модуль Юнга численно равен усилию , вызывающему единичное относительное удлинение исследуемого материала. При относительном удлинении, равном , , откуда , т.е. усилию, которое растягивает стержень вдвое. Таким образом, модуль Юнга характеризует собой сопротивление материала приложенным нагрузкам. Для определения модуля Юнга необходимо измерить удлинение, а так как оно обычно очень мало, то нужны особые предосторожности и большая тщательность в производстве отсчетов.

Для определения модуля Юнга из растяжения используем формулу (5), которую запишем в следующем виде:

где — диаметр растягиваемой проволоки, — ее длина.

Выполнение работы

Нагрузив проволоку грузами для ее выпрямления, сделаем отсчет по индикатору длин.

Провести контрольные измерения величин входящих в уравнение (6).

Результаты измерений занести в таблицу 1.

Результаты измерений и расчетов для определения модуля продольной упругости проволоки.