Гармонические колебания
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Механические колебания
Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.
Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.
Свободные колебания
Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.
Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.
Вынужденные колебания
А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.
- Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.
Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.
Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.
Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.
Автоколебания
Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.
У автоколебательной системы есть три важных составляющих:
- сама колебательная система
- источник энергии
- устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой
Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.
Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.
Характеристики колебаний
Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение характеризуется величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.
Формула периода колебаний
T = t/N
N — количество колебаний [-]
Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.
Формула частоты
ν = N/t = 1/T
N — количество колебаний [-]
- Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо xmax.
Она используется в уравнении гармонических колебаний:
Гармонические колебания
Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:
Уравнение гармонических колебаний
x — координата в момент времени t [м]
xmax— амплитуда [м]
t — момент времени [с]
2πνtв этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ
Фаза колебаний
xmax— амплитуда [м]
t — момент времени [с]
- Фаза колебаний — это физическая величина, которая показывает отклонение точки от положения равновесия. Посмотрите на рисунок, на нем изображены одинаковые фазы:
Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.
На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.
Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.
На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.
- В первом случае (а) красная кривая описывает колебание, у которого амплитуда больше колебания, описанного синей линии.
Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.
Математический маятник
Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.
Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.
Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).
Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:
Формула периода колебания математического маятника
l — длина нити [м]
g — ускорение свободного падения [м/с^2]
На планете Земля g = 9,8 м/с2
Пружинный маятник
Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.
В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.
Формула периода колебания пружинного маятника
m — масса маятника [кг]
k — жесткость пружины [Н/м]
Закон сохранения энергии для гармонических колебаний
Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.
Нитяной и пружинный маятники
Познакомимся с физической моделью нитяной маятник. Взгляните на рисунок. Вы видите кирпич, подвешенный на широкой ленте, и тяжёлый шарик, подвешенный на нити. Толкнём их рукой, и оба тела начнут совершать колебания – станут маятниками.
Изучить колебания – значит найти способы описания колебаний и выявить их закономерности. Удобен ли для этого кирпичный маятник? Конечно, нет. Во-первых, потому, что он большой, и при его качаниях будет велика сила сопротивления воздуха. Во-вторых, лента подвешена за два конца, и при качаниях её половины будут натягиваться неодинаково, из-за чего кирпич будет двигаться зигзагами. Тяжёлый шарик на нити более удобен для изучения колебаний.
Нитяным маятником называют тело на невесомой нерастяжимой нити, совершающее колебания. Для этой модели важно, чтобы размеры тела были малы по сравнению с длиной нити. В таком случае говорят: формой и размерами тела можно пренебречь (то есть в данных условиях не принимать их во внимание).
Опыты показывают: если на тело нитяного маятника действуют только сила тяжести и сила упругости, он совершает колебания с постоянным периодом. При этом, если амплитуда колебаний невелика по сравнению с длиной нити (говорят: маятник совершает малые колебания), то период колебаний нитяного маятника можно подсчитать по формуле, которая помещена в рамке.
Вы видите, что период малых колебаний нитяного маятника не зависит от его массы, а определяется лишь длиной нити l и коэффициентом g. Например, при увеличении длины нити в 4 раза, период колебаний маятника возрастёт в 2 раза (что равно √4 раз).
Рассмотрим вторую модель: пружинный маятник – тело на пружине, совершающее колебания. При этом важно, чтобы один конец пружины был закреплён, а её масса была мала по сравнению с массой тела (то есть массой пружины можно было бы пренебречь).
Опыты показывают: если на тело пружинного маятника действуют только сила тяжести и сила упругости, он совершает колебания с постоянным периодом. При этом, если амплитуда колебаний невелика по сравнению с длиной пружины (то есть она деформируется упруго), то период колебаний пружинного маятника можно подсчитать по формуле, которая помещена в рамке.
Итак, период малых колебаний пружинного маятника не зависит от коэффициента силы тяжести, а определяется лишь массой тела m и коэффициентом k, характеризующим жёсткость пружины. Например, при увеличении массы груза в 9 раз, период колебаний маятника возрастёт в 3 раза (что равно √9 раз).
Наряду со свободными колебаниями, когда маятник выведен из положения равновесия и предоставлен самому себе, существуют также вынужденные колебания и автоколебания. Обратимся к рисунку. Под гирей, висящей на пружине, расположен электромагнит. Если мы будем попеременно включать и выключать ток, то гиря начнёт совершать вынужденные колебания, частота которых зависит от частоты внешнего воздействия.
Однако маятник может сам регулировать поступление энергии, совершая автоколебания. Взгляните: средний провод зажат прищепкой и касается гири, пока она вверху. Ток, проходя через пружину, гирю, средний провод и электромагнит, намагничивает его сердечник. Притягиваясь, гиря движется вниз. Вскоре она отсоединяется от среднего провода, ток прекращается, и магнитное поле исчезает. Под действием пружины гиря поднимается вверх и снова замыкает цепь.
Пружинный маятник — формулы и уравнения нахождения величин
Пружинный маятник — колебательная система, которая состоит из тела, подвешенного к пружине. Эта система способна к совершению свободных колебаний.
Подобные системы довольно широко распространены за счет своей функциональной гибкости. Механизмы на основе таких маятников часто используются как элементы средств автоматики.
В том числе они нашли применение в контактных взрывателях различных боеприпасов, в качестве акселерометров в контурах управления ракет. Так же они активно используются в предохранительных клапанах, устанавливаемых в трубопроводах.
Что такое пружинный маятник
Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости.
Приняты следующие обозначения:
k — коэффициент жесткости пружины.
Общий вид маятника:
Особенностями пружинных маятников являются:
Сочетание тела и пружины. Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки;
У любой пружины есть исходное положение, предел сжатия и растяжения. При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация;
Полная механическая энергия появляется с началом процесса обратимого деформирования. В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости;
Колебательные движения происходят под влиянием силы упругости. Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях;
От массы тела, величины и направления прикладываемой силы зависит скорость в плоскости его перемещения. Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.
Виды пружинных маятников
Существует два типа данной системы:
Вертикальный маятник — на тело довольно сильно влияет сила тяжести. Это влияние обуславливает увеличение инерционных движений, которые совершает тело в исходной точке.
Горизонтальный — в таком варианте при движении на груз начинает действовать сила трения, возникающая по причине того, что груз лежит на поверхности.
Сила упругости в пружинном маятнике
До начала деформирования пружина находится в равновесном состоянии. Прикладываемое усилие может как растягивать, так и сжимать её.
Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, мы можем рассчитать силу упругости в нем. Упругость прямо пропорциональна расстоянию, на которое сместился груз.
Расчёт силы упругости может быть проведен таким образом:
Fупр = — k*x
где k — коэффициент жесткости пружины (Нм),
Уравнения колебаний пружинного маятника
Свободные колебания пружинного маятника описываются с помощью гармонического закона.
Если допустить вероятность того, что колебания идут вдоль оси Х, и при этом выполняется закон Гука, то уравнение примет вид:
F(t) = ma(t) = — mw2x(t),
где w — радиальная частота гармонического колебания.
Для проведения расчета колебаний, учитывая все вероятности, применяют следующие формулы:
Период и частота свободных колебаний пружинного маятника
При разработке проектов всегда определяется период колебаний и их частота. Для их измерения используются известные в физике формулы.
Изменение циклической частоты покажет формула, приведенная на рисунке:
Факторы, от которых зависит частота:
Коэффициент упругости. На этот коэффициент влияет количество витков, их диаметр, расстояние между ними, длина пружины, жесткость используемого сплава и т. д.
Масса груза. От этого фактора зависит возникающая инерция и скорость перемещения.
Амплитуда и начальная фаза пружинного маятника
Учитывая начальные условия и рассчитав уравнение колебаний, можем точно описать колебания пружинного маятника.
В качестве начальных условий используются: амплитуда (А) и начальная фаза колебаний (ϕ).
Энергия пружинного маятника
При рассмотрении колебания тел учитывают, что груз движется прямолинейно. Полная механическая энергия тела в каждой точке траектории является константой и равняется сумме его потенциальной энергии и кинетической энергии.
Потенциальная энергия:
Кинетическая энергия:
Полная энергия:
Расчет имеет особенности. При его проведении нужно учитывать несколько условий:
Колебания проходят в двух плоскостях: вертикальной и горизонтальной.
В качестве равновесного положения выбирается ноль потенциальной энергии. Находясь в этом положении пружина сохраняет свою форму.
Влияние силы трения при расчете не учитывают.
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника
Отметим, что пружинный маятник — это обобщенное определение. Скорость движения груза (тела) напрямую зависит от комплекса условий, в том числе приложенного к нему усилия.
11 класс
Чтобы описать свободные колебания тела, например груза на пружине или шарика на нити, количественно, т. е. получить уравнение движения, нужно воспользоваться законами механики Ньютона. В этом заключается динамический подход к решению задачи о колебаниях системы.
Получим уравнение движения груза на пружине. На груз действует сила упругости упр и сила тяжести = m . Действием сил трения в колебательной системе пренебрежём. Направим ось X вертикально вниз (рис. 5.8). Начало отсчёта (точку О) выберем на уровне положения равновесия. В этом положении пружина растянута на величину х, значение которой определяется из закона Гука: kх = mg. Отсюда
Проекция силы упругости
где х — координата груза относительно положения равновесия. Величина x + х представляет собой удлинение пружины (см. рис. 5.8).
Запишем уравнение движения груза:
Подставляя в уравнение (2) значение x из выражения (1), получим
Уравнение движения (3) не содержит силы тяжести. Она, действуя на груз, вызывает растяжение пружины на постоянную величину. Но это не влияет на характер движения груза. Колебания происходят относительно положения равновесия тела при растянутой на x пружине. В отсутствие тяготения уравнение (3) имело бы такую же форму, но только колебания происходили бы относительно конца нерастянутой пружины. Наличие силы тяжести несущественно для колебаний груза на пружине, в отличие от колебаний математического маятника.
Масса m и жёсткость пружины k — постоянные величины. Разделив левую и правую части уравнения (3) на m, запишем:
Это уравнение движения груза на пружине.
Проекция αх ускорения груза прямо пропорциональна его смещению от положения равновесия х, взятому с противоположным знаком.
Уравнение движения математического маятника.
Рассмотрим свободные колебания математического маятника. Будем считать, что силы трения в системе пренебрежимо малы.
Если отклонить маятник из положения равновесия на малый угол и отпустить, то сила тяжести т и сила упругости нити упр будут направлены под углом друг к другу, и они не уравновешиваются (рис. 5.9, а).
Разложим силу тяжести на две составляющие: силу n, направленную вдоль нити, и силу τ направленную по касательной к траектории движения шарика.
Векторы силы упругости нити упр и нормальной составляющей силы тяжести n перпендикулярны вектору скорости движения шарика. Они сообщают ему нормальное (центростремительное) ускорение. Действие этих сил не изменяет модуля скорости движения шарика, а приводит лишь к изменению направления его скорости. Вектор скорости непрерывно поворачивается, так что в любой момент времени скорость направлена по касательной к дуге окружности — траектории маятника. Под действием составляющей 1 силы тяжести τ маятник будет двигаться к положению равновесия с нарастающей по модулю скоростью. В положении равновесия составляющая τ равна нулю, а скорость достигает максимального значения, и маятник движется дальше, поднимаясь в крайнее левое положение — в точку В. Под действием возвращающей силы маятник снова будет двигаться к положению равновесия. Тем самым он будет совершать колебательное движение.
1 Эту составляющую силы тяжести называют тангенциальной. Тангенциальная составляющая τ силы тяжести создаёт тангенциальное ускорение, характеризующее изменение скорости по модулю.
Найдём проекцию на направление касательной силы тяжести т в момент времени, когда нить маятника отклонена от положения равновесия на угол α (см. рис. 5.9, б):
Если обозначить через х смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиусом l, то угол отклонения маятника α = х / l. Второй закон Ньютона, записанный в проекциях на направление касательной, даёт:
В том случае, если углы отклонения нити от вертикали являются малыми, sin х / l можно приближённо заменить на х / l. Тогда
Это уравнение движения математического маятника.
Проекция ускорения математического маятника прямо пропорциональна смещению маятника от положения равновесия, взятому с противоположным знаком.
Мы пришли к важному выводу: уравнения движения, описывающие колебания таких различных систем, как груз на пружине и математический маятник, одинаковы. Кроме того, согласно уравнению αx = — ω 2 x (см. § 25 «Кинематика колебательного движения. Гармонические колебания»), малые колебания и пружинного, и математического маятников являются гармоническими с собственными частотами:
для пружинного маятника и
для математического маятника.
Если воспользоваться формулами (6) и (7), а также выражением T = 2π / ω,то можно записать:
— период колебаний пружинного маятника;
— период колебаний математического маятника.
Собственная частота колебаний груза на пружине определена согласно выражению (6). Она тем больше, чем больше жёсткость пружины, и тем меньше, чем больше масса тела. Это понятно: более жёсткая пружина сообщает телу большее ускорение, т. е. быстрее меняет его скорость и, следовательно, уменьшает время одного колебания. А чем массивнее тело, тем медленнее оно изменяет скорость под действием данной силы.
Собственная частота колебаний математического маятника [см. формулу (7)] при малых углах отклонения нити от вертикали зависит от длины нити и ускорения свободного падения. Период колебаний такого маятника возрастает с увеличением длины его нити, но при этом он не зависит от массы маятника и амплитуды колебаний.
Зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения можно обнаружить экспериментально. Чем меньше ускорение свободного падения, тем больше период колебаний маятника и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут в сутки почти на 7 с, если их поднять на вершину Останкинской телебашни (высота 500 м 2 ).
2 Точное значение высоты Останкинской телебашни составляет 540,1 м. Но в данном расчёте удобно использовать её приближённое значение.
Вопросы:
1. Какая сила вызывает свободные колебания:
а) пружинного маятника;
б) математического маятника?
2. Запишите формулу определения периода колебаний:
а) математического маятника;
б) пружинного маятника.
3. Почему собственная частота колебаний груза на пружине тем больше, чем больше жёсткость пружины?
4. Как изменится (уменьшится или увеличится) период колебаний математического маятника, если уменьшить длину его нити?
5. Зависит ли период колебаний математического маятника от массы груза?
Вопросы для обсуждения:
1. Точное значение высоты Останкинской телебашни составляет 540,1 м. Но в данном расчёте удобно использовать её приближённое значение.
2. Как будет изменяться период колебаний ведра с водой, подвешенном на длинном шнуре, если из отверстия в его дне постепенно будет вытекать вода?
3. Допустим, нам известен период колебаний одного из двух маятников разной длины. Как, не используя секундомер и линейку, определить период колебаний другого маятника?
Пример решения задачи
За одно и то же время один математический маятник совершил 50 полных колебаний, а другой маятник — 30. Найдите их длины, если один из них короче другого на 32 см.
