Формула периода колебаний пружинного маятника
Период — это минимальное время, за которое совершается одно полное колебательное движение.
Обозначают период буквой $T$.
где $Delta t$ — время колебаний; $N$ — число полных колебаний.
Уравнение колебаний пружинного маятника
Рассмотрим простейшую колебательную систему, в которой можно реализовать механические колебания. Это груз массы $m$, подвешенный на пружине, коэффициент упругости которой равен $k $(рис.1). Рассмотри вертикальное движение груза, которое обусловлено действием силы тяжести и силы упругости пружины. В состоянии равновесия такой системы, сила упругости равна по величине силе тяжести. Колебания пружинного маятника возникают, когда систему выводят из состояния равновесия, например, слегка дополнительно растянув пружину, после этого маятник предоставляют самому себе.
Допустим, что масса пружины мала в сравнении с массой груза, при описании колебаний ее учитывать не будем. Началом отсчета будем считать точку на оси координат (X), которая совпадает с положением равновесия груза. В этом положении пружина уже имеет удлинение, которое обозначим $b$. Растяжение пружины происходит из-за действия на груз силы тяжести, следовательно:
Если груз смещают дополнительно, но закон Гука еще выполняется, то сила упругости пружины становится равна:
Ускорение груза запишем, помня, что движение происходит по оси X, как:
Второй закон Ньютона для груза принимает вид:
Учтем равенство (2), формулу (5) преобразуем к виду:
Если ввести обозначение: $
где $
где $
Формулы периода колебаний пружинного маятника
Мы получили, что колебания пружинного маятника описывается функцией косинус или синус. Это периодические функции, значит, смещение $x$ будет принимать равные значения через определенные одинаковые промежутки времени, которые называют периодом колебаний. Обозначают период буквой T.
Еще одной величиной, характеризующей колебания является величина обратная периоду колебаний, ее называют частотой ($nu $):
Период связан с циклической частотой колебаний как:
Выше мы получали для пружинного маятника $
Формула периода колебаний пружинного маятника (11) показывает, что $T$ зависит от массы груза, прикрепленного к пружине и коэффициента упругости пружины, но не зависит от амплитуды колебаний (A). Данное свойство колебаний называют изохронностью. Изохронность выполняется до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях пружины закон Гука нарушается, появляется зависимость колебаний от амплитуды. Подчеркнем, что формула (11) для вычисления периода колебаний пружинного маятника справедлива при малых колебаниях.
Примеры задач на период колебаний
Задание. Пружинный маятник совершил 50 полных колебаний за время равное 10 с . Каков период колебаний маятника? Чему равна частота этих колебаний?
Решение. Так как период — это минимальное время необходимое маятнику для совершения одного полного колебания, то найдем его как:
Частота — величина обратная периоду, следовательно:
Вычислим частоту колебаний:
Ответ. $1) T=0,2$ с; 2) 5Гц
Задание.Две пружины, имеющие коэффициенты упругости $k_1$ и $k_2$ соединены параллельно (рис.2), к системе присоединен груз массы $M$. Каков период колебаний полученного пружинного маятника, если массами пружин можно пренебречь, сила упругости, действующая на груз, подчиняется закону Гука?
Решение. Воспользуемся формулой для вычисления периода колебаний пружинного маятника:
При параллельном соединении пружин результирующая жесткость системы находится как:
Это означают, что вместо $k$ в формулу для вычисления периода пружинного маятника подставим правую часть выражения (2.2), имеем:
Урок 1. Механические колебания
Механические колебания – это физические процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые интервалы времени.
Колебания, происходящие под действием внутренних сил в колебательной системе, называют свободными.
Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней периодически меняющейся силы.
Амплитуда – это наибольшее смещение колеблющейся величины от положения равновесия.
Период – это время одного полного колебания.
Частота колебаний – это число колебаний за единицу времени.
Фаза колебаний – это физическая величина определяющая отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени.
Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему с частотой свободных колебаний.
Основная и дополнительная литература по теме урока:
Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Чаругин В.М. Физика.11 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. – С. 53 – 73.
Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11 класс. — М.: Дрофа, 2009. – С. 59 – 61.
- Степанова. Г.Н. Сборник задач по физике. 10-11 класс. М., Просвещение 1999 г.
- Е.А. Марон, А.Е. Марон. Контрольные работы по физике. М., Просвещение, 2004
Основное содержание урока
Мир удивителен и многообразен. Мы каждый день наблюдаем разные движения тел. Все мы видели, как раскачивается ветка на ветру, лодка на волнах, качели, деревья при ветре. Чем эти движения отличаются от движения тележки движущейся прямолинейно? Мы видим, что в отличие от движения тележки движущейся прямолинейно, движения всех этих тел повторяются через определенный промежуток времени.
Механические колебания – это физические процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые интервалы времени.
Колебания играют огромную роль в нашей жизни. Примерами колебаний в нашем организме являются биение сердца, движение голосовых связок. Колебания происходят и в жизни нашей планеты (приливы, отливы, землетрясения) и в астрономических явлениях (пульсации звезд). Одним из грозных явлений природы является землетрясение – колебание земной поверхности. Строители рассчитывают возводимые ими сооружения на устойчивость при землетрясении.
Без знания законов колебаний нельзя было бы создать, телевидение, радио и многие современные устройства и машины. Неучтенные колебания могут привести к разрушению сложных технических сооружений и вызвать серьезные заболевания человека. Все это делает необходимым их всестороннее изучение.
Основным признаком колебательного движения является его периодичность. Колеблющееся тело за одно колебание дважды проходит положение равновесия. Колебания характеризуются такими величинами как период, частота, амплитуда и фаза колебаний.
Амплитуда – это наибольшее смещение колеблющейся величины от положения равновесия.
При малых амплитудах путь пройденный телом за одно полное колебание равен примерно четырем амплитудам.
Промежуток времени, в течение которого тело совершает одно полное колебание, называют периодом колебаний.
Период – это время одного полного колебания.
Чтобы найти период колебаний нужно разделить время колебаний на число колебаний.
Частота колебаний – это число колебаний за единицу времени.
Единица частоты названа в честь немецкого ученого Г. Герца.
Фаза колебаний – это физическая величина определяющая отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени.
Во всех колебательных системах действуют силы, стремящиеся вернуть тело в состояние устойчивого равновесия. Существуют несколько типов маятников: нитяные и, пружинные и т.д. Под словом «маятник» понимают твердое тело способное совершать колебания под действием приложенных сил около неподвижной точки или вокруг оси.
Мы с вами будем рассматривать пружинный и математический маятники.
Пружинный маятник. Колебательная система в этом случае представляет собой тело, прикрепленное к пружине. Колебания в таком маятнике возникают под действием силы упругости пружины и силы тяжести.
Период колебаний пружинного маятника:
T- период колебаний пружинного маятника
m – масса подвешенного груза
Математический маятник.
Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на длинной нерастяжимой нити.
Математический маятник — это идеализированная модель. Реальный маятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного тела и масса нити ничтожна по сравнению с массой тела. Колебания такого маятника происходят под действием силы натяжения нити и силы тяжести. Формула для расчета периода колебаний математического маятника была выведена Гюйгенсом.
T – период колебаний математического маятника
– длина нити маятника
– ускорение свободного падения
Гюйгенс доказал, что период малых колебаний маятника не зависят от времени. Используя это свойство, названное изохронностью маятника Гюйгенс в тысяча шестьсот пятьдесят седьмом году, сконструировал первые маятниковые часы. Это свойство маятника было открыто 19-летним Галилеем более чем за 20 лет до открытия Гюйгенса. Наблюдая за тем, как раскачиваются в соборе светильники, подвешенные на нитях одинаковой длины, он заметил, что их период колебаний не зависит от времени. Наручных часов тогда не было, и юный Галилей пришёл к решению, которое для многих поколений будет служить образцом блеска и остроумия человеческой мысли: он сравнил колебания маятника с частотой биения собственного сердца.
Гармоническими являются колебания, происходящие под действием силы пропорциональной смещению колеблющейся точки и направленной противоположно этому смещению. Уравнение гармонических колебаний:
x – координата колеблющейся величины
– амплитуда колебаний
ω — циклическая частота
При наличии сил трения в системе колебания затухают. Амплитуда колебаний в этом случае со временем уменьшается. Иногда возникает необходимость в гашении колебаний, к примеру колебания кузова, на рессорах при езде на автомобиле. Для гашения колебаний применяют специальные амортизаторы. С кузовом связывают поршень, который при колебаниях движется в цилиндре, заполненном жидкостью. Большое сопротивление жидкости приводит к гашению колебаний.
Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными.
Если частота изменения внешней силы не равна частоте свободных колебаний системы, то внешняя сила будет действовать не в такт со свободными колебаниями самой системы. В этом случае амплитуда колебаний будет определяться максимальным значением действующей на систему внешней силы.
Если частота изменения внешней силы совпадет с частотой свободных колебаний, то будет наблюдаться резкое возрастание амплитуды колебаний, так как внешняя сила в этом случае будет действовать в такт со свободными колебаниями этой системы.
ω — частота изменения внешней силы.
ω – частота свободных колебаний системы.
Впервые явление резонанса было описано Галилеем. Явление резонанса играет большую роль в природе, технике и науке. Большинство сооружений и машин обладая определенной упругостью, способно совершать свободные колебания. Поэтому внешние периодические воздействия могут вызвать их резонанс, что может стать причиной катастроф. Известно много случаев, когда источником опасных колебаний были люди, идущие в ногу. Так, в 1831 году в городе Манчестер при прохождении по мосту колонны солдат строевым шагом мост разрушился. Аналогичный случай был в г. Петербурге в 1905 году. При прохождении моста через реку Фонтанка эскадроном гвардейской кавалерии мост обрушился. Для предотвращения резонансных явлений используют разные способы гашения вынужденных колебаний. Один способ состоит в изменении частоты свободных колебаний в системе. Другой способ состоит в увеличении силы трения в системе: чем больше сила трения, тем меньше амплитуда резонансных колебаний
Разбор тренировочных заданий
1. Найдите массу груза, который на пружине жесткостью 250 Н/м делает 20 колебаний за 16 с.
Напишем формулу периода пружинного маятника
Из этой формулы выразим массу
Период колебаний груза найдём через время колебаний и число колебаний по формуле:
Подставляем числовые значения величин
Следовательно масса равна:
2. На нити подвешен шарик массой 0,1 кг. Шарик отклонили на высоту 2,5 см (по отношению к положению равновесия) и отпустили. Определите максимальную скорость шарика.
Скорость колеблющегося шарика максимальна в момент прохождения положения равновесия.
Пружинный маятник — формулы и уравнения нахождения величин
Пружинный маятник — колебательная система, которая состоит из тела, подвешенного к пружине. Эта система способна к совершению свободных колебаний.
Подобные системы довольно широко распространены за счет своей функциональной гибкости. Механизмы на основе таких маятников часто используются как элементы средств автоматики.
В том числе они нашли применение в контактных взрывателях различных боеприпасов, в качестве акселерометров в контурах управления ракет. Так же они активно используются в предохранительных клапанах, устанавливаемых в трубопроводах.
Что такое пружинный маятник
Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости.
Приняты следующие обозначения:
k — коэффициент жесткости пружины.
Общий вид маятника:
Особенностями пружинных маятников являются:
Сочетание тела и пружины. Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки;
У любой пружины есть исходное положение, предел сжатия и растяжения. При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация;
Полная механическая энергия появляется с началом процесса обратимого деформирования. В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости;
Колебательные движения происходят под влиянием силы упругости. Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях;
От массы тела, величины и направления прикладываемой силы зависит скорость в плоскости его перемещения. Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.
Виды пружинных маятников
Существует два типа данной системы:
Вертикальный маятник — на тело довольно сильно влияет сила тяжести. Это влияние обуславливает увеличение инерционных движений, которые совершает тело в исходной точке.
Горизонтальный — в таком варианте при движении на груз начинает действовать сила трения, возникающая по причине того, что груз лежит на поверхности.
Сила упругости в пружинном маятнике
До начала деформирования пружина находится в равновесном состоянии. Прикладываемое усилие может как растягивать, так и сжимать её.
Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, мы можем рассчитать силу упругости в нем. Упругость прямо пропорциональна расстоянию, на которое сместился груз.
Расчёт силы упругости может быть проведен таким образом:
Fупр = — k*x
где k — коэффициент жесткости пружины (Нм),
Уравнения колебаний пружинного маятника
Свободные колебания пружинного маятника описываются с помощью гармонического закона.
Если допустить вероятность того, что колебания идут вдоль оси Х, и при этом выполняется закон Гука, то уравнение примет вид:
где w — радиальная частота гармонического колебания.
Для проведения расчета колебаний, учитывая все вероятности, применяют следующие формулы:
Период и частота свободных колебаний пружинного маятника
При разработке проектов всегда определяется период колебаний и их частота. Для их измерения используются известные в физике формулы.
Изменение циклической частоты покажет формула, приведенная на рисунке:
Факторы, от которых зависит частота:
Коэффициент упругости. На этот коэффициент влияет количество витков, их диаметр, расстояние между ними, длина пружины, жесткость используемого сплава и т. д.
Масса груза. От этого фактора зависит возникающая инерция и скорость перемещения.
Амплитуда и начальная фаза пружинного маятника
Учитывая начальные условия и рассчитав уравнение колебаний, можем точно описать колебания пружинного маятника.
В качестве начальных условий используются: амплитуда (А) и начальная фаза колебаний (ϕ).
Энергия пружинного маятника
При рассмотрении колебания тел учитывают, что груз движется прямолинейно. Полная механическая энергия тела в каждой точке траектории является константой и равняется сумме его потенциальной энергии и кинетической энергии.
Потенциальная энергия:
Кинетическая энергия:
Полная энергия:
Расчет имеет особенности. При его проведении нужно учитывать несколько условий:
Колебания проходят в двух плоскостях: вертикальной и горизонтальной.
В качестве равновесного положения выбирается ноль потенциальной энергии. Находясь в этом положении пружина сохраняет свою форму.
Влияние силы трения при расчете не учитывают.
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника
Отметим, что пружинный маятник — это обобщенное определение. Скорость движения груза (тела) напрямую зависит от комплекса условий, в том числе приложенного к нему усилия.
