Амплитуда скорости груза
Рассмотрим пружинный маятник, который представляет собой груз массой $m$, подвешенный на пружине, которую считают абсолютно упругой (ее коэффициент упругости равен $k$). Пусть груз движется вертикально, движения происходят под воздействием силы упругости пружины и силы тяжести, если система выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе. Массу пружины считаем малой в сравнении с массой груза. Начало отсчета поместим на оси X (ось направлена вниз) в точке равновесия груза.
Пружинный маятник является примером гармонического осциллятора. Колебания гармонического осциллятора служат важным примером периодического движения и являются моделью во многих задачах физики. Колебания такого груза можно считать гармоническими и описывать при помощи уравнения:
где $xleft(tright)$ — смещение груза от положения равновесия в момент времени ($t$); $
Скорость колебаний груза при этом найдем как:
Амплитудой скорости колебаний груза при этом является величина равная:
Для пружинного маятника амплитуда колебаний скорости груза равна:
Амплитуда скорости колебаний математического и физического маятников
Будем считать математический маятник шариком (грузом), подвешенным на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Математический маятник является примером гармонического осциллятора, совершающим колебания, которые описывает уравнение:
Решением уравнения (5) является выражение:
где $varphi $ — угол отклонения нити от положения равновесия, $alpha $ — начальная фаза колебаний; $
Амплитудой скорости колебаний груза на нити в данном случае является величина равная:
Для математического маятника амплитуда скорости колебаний груза равна:
Примеры задач на амплитуду скорости груза
Задание. Колебательная система представляет собой груз, массы $m, $подвешенный на упругой пружине (рис.1). Смещение груза вдоль оси X изменяется по закону: $x(t)=2
Решение. Кинетическую энергию груза можно найти и определения:
Из уравнения колебаний груза найдем уравнение изменения его скорости:
Используя выражение (1.2) получим уравнение изменения кинетической энергии в виде:
Из выражения (1.3) следует, что максимальное значение кинетической энергии (ее амплитуда), учитывая, что $
Ответ. $E_
Задание. Скорость колебаний груза на нити (математический маятник) изменяется в соответствии с гармоническим законом: $frac
Решение. Амплитуду скорости изменения угла отклонения мы видим непосредственно в уравнении:
Амплитуда колебаний скорости пружинного маятника
Разделы
Дополнительно
Определить период колебания тела массой $m$, подвешенного вертикально на пружине с коэффициентом жесткости $k$.
Чашка пружинных весов массой $m_<1>$ совершает вертикальные гармонические колебания с амплитудой $A$. Когда чашка находилась в крайнем нижнем положении, на нее положили груз массой $m_<2>$. В результате колебания прекратились. Определить первоначальный период колебаний чашки.
На горизонтальной пружине укреплено тело массой $M = 10 кг$, лежащее на абсолютно гладком столе. В это тело попадает и застревает в нем пуля массой $m = 10 г$, летящая со скоростью $v = 500 м/с$, направленной вдоль оси пружины. Амплитуда возникших при этом колебаний $A = О,1 м$. Найти период колебаний. Как будут изменяться координата и скорость при колебаниях?
Однородную по длине пружину с жесткостью к разрезали на две части так, что отношение их длин равно $n$. С помощью двух получившихся пружин небольшое тело массой $m$ закрепили между двумя стенками так, что обе пружины оказались недеформированными. Пренебрегая массой пружин и силой тяжести, найти период малых колебаний данного тела. Трением пренебречь.
Амплитуда колебаний скорости пружинного маятника
«Физика — 11 класс»
Ускорение — вторая производная координаты по времени.
Мгновенная скорость точки — это производная координаты точки по времени.
Ускорение точки — это производная ее скорости по времени, или вторая производная координаты по времени.
Поэтому уравнение движения маятника можно записать так:
где х» — вторая производная координаты по времени.
При свободных колебаниях координата х изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку.
Гармонические колебания 
Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями.
Амплитуда колебаний
Амплитудой гармонических колебаний называется модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.
Амплитуда определяется начальными условиями, а точнее энергией, сообщаемой телу.
График зависимости координаты тела от времени представляет собой косинусоиду.
Тогда уравнение движения, описывающее свободные колебания маятника:
Период и частота гармонических колебаний.
При колебаниях движения тела периодически повторяются.
Промежуток времени Т, за который система совершает один полный цикл колебаний, называется периодом колебаний.
Частота колебаний — это число колебаний в единицу времени.
Если одно колебание совершается за время Т, то число колебаний за секунду
В Международной системе единиц (СИ) единица частоты называется герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца.
Число колебаний за 2π с равно:
Величина ω — это циклическая (или круговая) частота колебаний.
Через промежуток времени, равный одному периоду, колебания повторяются.
Частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы.
Часто для краткости циклическую частоту называют просто частотой.
Зависимость частоты и периода свободных колебаний от свойств системы.
1. для пружинного маятника
Собственная частота колебаний пружинного маятника равна:
Она тем больше, чем больше жесткость пружины k, и тем меньше, чем больше масса тела m.
Жесткая пружина сообщает телу большее ускорение, быстрее меняет скорость тела, а чем тело массивнее, тем медленнее оно изменяет скорость под влиянием силы.
Период колебаний равен:
Период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды колебаний.
2. для нитяного маятника
Собственная частота колебаний математического маятника при малых углах отклонения нити от вертикали зависит от длины маятника и ускорения свободного падения:
Период же этих колебаний равен:
Период колебаний нитяного маятника при малых углах отклонения не зависит от амплитуды колебаний.
Период колебаний возрастает с увеличением длины маятника. От массы маятника он не зависит.
Чем меньше g, тем больше период колебаний маятника и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут за сутки почти на 3 с, если их поднять из подвала на верхний этаж Московского университета (высота 200 м). И это только за счет уменьшения ускорения свободного падения с высотой.
Источник: «Физика — 11 класс», учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин
Механические колебания. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика
Гармонические колебания. Амплитуда, период и частота колебательного движения
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Гармонические колебания. Амплитуда, период и частота колебательного движения»
В рамках прошлой темы говорилось о новом виде механического движения – колебательном движении.
Механическое колебательное движение —это движение, при котором состояния тела с течением времени повторяются, причем тело проходит через положение устойчивого равновесия поочередно в противоположных направлениях.
Если колебания происходят в системе только под действием внутренних сил, то такие колебания называют свободными.
Колебательной системой называют такую физическую систему, в которой при отклонении от положения равновесия возникают и существуют колебания.
Маятник – это твердое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или вокруг оси.
В рамках данной темы будет рассмотрен простейший вид колебательного движения — гармонические колебания.
Гармонические колебания — это колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.
Смещение от положения равновесия при гармонических колебаниях описывается уравнениями вида:
Эти уравнения называют кинематическим законом гармонического движения.
Покажем, что гармонические колебания действительно подчиняются закону синуса или косинуса. Для этого рассмотрим следующую установку.
Возьмем нитяной маятник, а в качестве груза к нему выберем небольшой массивный сосуд с маленьким отверстием снизу и насыплем в него песок.А под полученную систему положим длинную бумажную ленту.
Если ленту перемещать с постоянной скоростью в направлении, перпендикулярном плоскости колебаний, то на ней останется волнообразная дорожка из песка, каждая точка которой соответствует положению колеблющегося груза в тот момент, когда он проходил над ней. Из опыта видно, что след, который оставляет песок на листе бумаги, есть некая кривая.
Она называется синусоидой. Из курса математики старших классов вы узнаете о том, что аналогичные графики имеют функции типа
Значит, графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается синусоидой или косинусоидой.
Через точки, соответствующие положению равновесия маятника, проведена ось времени t, а перпендикулярно ей — ось смещения икс. График дает возможность приблизительно определить координату груза в любой момент времени.
Теперь разберемся с величинами, входящими в уравнение колебательного движения.
Смещение — величина, характеризующая положение колеблющейся точки в некоторый момент времени относительно положения равновесия и измеряемая расстоянием от положения равновесия до положения точки в данный момент времени.
Амплитуда колебаний — максимальное смещение тела от положения равновесия.
Циклическая, или круговая частота, показывающая, сколько колебаний совершает тело за 2p секунд.
j0 — это начальная фаза колебаний.
Фаза колебаний — это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы в любой момент времени.
Промежуток времени, в течение которого тело совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний.
Период колебаний обычно обозначается буквой Т и в системе СИ измеряется в секундах.
Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний. Обозначается частота буквой ν. За единицу частоты принято одно колебание в секунду. Эта единица названа в честь немецкого ученого Генриха Герца.
Период колебания и частота колебаний связаны следующей зависимостью:
Т.е. частота — это величина обратная периоду и равная числу полных колебаний, совершаемых за 1 секунду.
Циклическая частота также связана с периодом колебаний или частотой. Эту связь математически можно записать в следующем виде:
Таким образом, любое колебательное движение характеризуется амплитудой, частотой (или периодом) и фазой колебаний.
При совершении телом гармонических колебаний не только его координата, но и такие величины, как сила, ускорение, скорость, тоже изменяются по закону синуса или косинуса.
Это следует из известных вам законов и формул, в которых указанные величины попарно связаны прямо пропорциональной зависимостью, например законом Гука или вторым законом Ньютона. Из этих формул видно, что сила и ускорение достигают наибольших значений, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение наиболее велико, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия.
Что же касается скорости, то она, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия достигает наибольшего значения.
Колебания, практически близкие к гармоническим, совершает тяжелый шарик, подвешенный на легкой и малорастяжимой нити, длина которой значительно больше диаметра шарика. Такую колебательную систему называют математическим маятником.
Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу и находящейся в поле силы тяжести.
Также гармонические колебания может совершать груз подвешенный на пружине, совершающий колебания в вертикальной плоскости. Такую колебательную систему называют пружинным маятником — это система, состоящая из материальной точки массой m и пружины.
Основные выводы:
– Гармонические колебания — это колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.
– Любое колебательное движение характеризуется амплитудой, частотой (или периодом) и фазой колебаний.
– Амплитуда колебаний — максимальное смещение тела от положения равновесия.
– Промежуток времени, в течение которого тело совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний.
– Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний.
– Фаза колебаний — это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы в любой момент времени.
– Математический и пружинный маятники — это простейшие идеализированные колебательные системы, подчиняющиеся закону синуса или косинуса.
– Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу и находящейся в поле силы тяжести.
– Пружинный маятник — это система, состоящая из материальной точки массой m и пружины, которая совершает колебания в вертикальной плоскости.
